Kütle Atalet Momenti Matrisi

\( I = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} \)

\( I = \begin{bmatrix} \int (r_y^2+r_z^2) dm & \int -r_x*r_y dm & \int -r_x*r_z dm \\ \int -r_y*r_x dm & \int (r_x^2+r_z^2) dm & \int -r_y*r_z dm \\ \int -r_z*r_x dm & \int -r_z*r_y dm & \int (r_x^2+r_y^2) dm \end{bmatrix} \)

Bir cismin kütle atalet matrisinin oluşturulması sırasında, diyagonal olmayan terimlerin kolay bulunabilmesi için dikey eksende veya yatay eksende simetriklik var mı diye bakılır. Eğer simetriklik var ise doğrudan bu terim 0'dır. Simetriklik yok ise simetrik kısmı kadarı karşılıklı yok sayılır ve simetrikliğe aykırı kısmına odaklanılabilir.

Örnek:

\(I_{xy}\) terimini hesaplarken, x-y düzleminden cisme baktığımızda x ekseni ekrafında veya y ekseni etrafında simetriklik var ise \(I_{xy}=0\)'dır.

Asal Atalet Ekseni

Bir cismin bir eksen etrafında dönmesi sırasında dönme eksenini değiştirici herhangi bir moment oluşturmuyorsa, bu eksenler cismin atalet eksenidir. Mesela bir dikdörtgen prizmanın yüzeylerinin ortasından geçen eksenler, bir kürenin her yöndeki ekseni, bir kübün yüzey ortalarından geçen eksen ve yine bir kübün karşılıklı köşe noktalarından geçen eksenler asal atalet eksenlerine birer örnektir.

Bir cismin mükemmel bir asal atalet eksen takımının olabilmesi için cismin simetrik olması gerekir. Eğer bu şart sağlanamıyorsa bu atalet matrisinin döndürülmesi sonucunda elde edilen yeni atalet matrisi de doğal olarak doğru olmayacaktır.

Kütle Atalet Momenti Matrisinin Döndürülmesi

x ekseni etrafında döndürme matrisi Rx, y ekseni ektrafında Ry ve z ekseni etrafında döndürme matrisleri olmak üzere:

Bir cismin x ekseni etrafında dönmesi sonucunda yeni kütle atalet matrisi şu şekildedir:

\( I_{yeni} = R_x . I . R_x^T \)

Aynı şekilde y ekseninde ve z ekseninde döndürülmesi sonucunda oluşan kütle atalet matrisi şu şekildedir.

\( I_{yeni} = R_y . I . R_y^T \)

\( I_{yeni} = R_z . I . R_z^T \)

Döndürme Matrisleri

\( R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \theta & -sin \theta \\ 0 & sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \)

\( R_y = \begin{bmatrix} cos \theta & 0 & sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \theta & 0 & cos \theta \end{bmatrix} \)

\( R_z = \begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta & 0 \\ sin \theta & cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Herhangi Bir Koordinat Sistemine Göre Verilen Bir Kütle Atalet Momenti Matrisinin Asal Atalet Matrisini Bulmak

Bir cismin bir koordinat sistemine göre verilen kütle atalet matrinden asal atalet matrisini bulabilmek bir özdeğer problemidir.

\( I = \begin{bmatrix} I_{xx}-\lambda & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy}-\lambda & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}-\lambda \end{bmatrix} \)

Bu denklemdeki \(\lambda\)'ları bulabilmek için determinantı alınarak 0'a eşitlenmelidir.

\( det(I) = 0 \)

Bu denklemin çözümünden 3 adet \(\lambda\) çıkacaktır. Bunlar asal atalet matrisinin diyagonal elemanlarıdır.

Önemli Not:

Döndürme dönüşümleri sadece simetrik cisimler için geçerlidir.

Kütle Atalet Momenti Matrisinin Ötelenmesi

Kütle atalet matrisinin x, y ve z eksenlerinde x, y, z ötelenmesi durumunda:

\( I = \begin{bmatrix} \int (r_y^2+r_z^2) dm & \int -r_x*r_y dm & \int -r_x*r_z dm \\ \int -r_y*r_x dm & \int (r_x^2+r_z^2) dm & \int -r_y*r_z dm \\ \int -r_z*r_x dm & \int -r_z*r_y dm & \int (r_x^2+r_y^2) dm \end{bmatrix} \)

olmak üzere,

\( I' = \begin{bmatrix} \int (r_y^2+r_z^2) dm + (y^2+z^2)m & \int -r_x*r_y dm - (x.y)m & \int -r_x*r_z dm - (x.z)m \\ \int -r_y*r_x dm -(y.x)m & \int (r_x^2+r_z^2) dm + (x^2+z^2)m & \int -r_y*r_z dm - (y.z)m\\ \int -r_z*r_x dm - (z.x) m & \int -r_z*r_y dm - (z.y)m & \int (r_x^2+r_y^2) dm + (x^2+y^2)m \end{bmatrix} \)

veya

\( I' = \begin{bmatrix} I_{xx} + (y^2+z^2)m & I_{xy} - (x.y)m & I_{xz} - (x.z)m \\ I_{yx} -(y.x)m & I_{yy} + (x^2+z^2)m & I_{yz} - (y.z)m\\ I_{zx} - (z.x) m & I_{zy} - (z.y)m & I_{zz} + (x^2+y^2)m \end{bmatrix} \)

Önemli Not: Bir atalet matrisi sadece bir kez ötelenebilir.

Solidworks Programında Kütle Atalet Momentini Alma

Robot dinamiğinde kullanabileceğimiz şekilde kütle atalet momentlerini doğru alabilmek için Mass Properties penceresinde Options butonuna tıklayınız. Burada Inertia Tensor (Crossproduct Convention) seçeneğinde Negative Tensor Notation'ı seçiniz.

Solidworks ile ilgili notasyon notları:

  1. https://help.solidworks.com/2021/English/SolidWorks/sldworks/HIDD_MASSPROPERTY_TEXT_DLG.htm
  2. https://help.solidworks.com/2021/english/api/swconst/ToolsEvaluateMassPropertiesOptions.htm

Tork ile Kütle Atalet Momenti

Cismin kendi koordinat sistemine göre

\(L = I.\omega\)

\(T = \frac{dL}{dt}\) Cismin kendi koordinat sistemine göre atalet momenti değişmeyeceği için türevin dışına çıkar.

\(T = I.\frac{d\omega}{dt}\)

\( \begin{bmatrix} T_{x}\\ T_{y}\\ T_{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} \alpha_{x}\\ \alpha_{y}\\ \alpha_{z} \end{bmatrix} \)

Cismin bağlı olduğu referans koordinat sistemine göre bu durumu tekrar değerlendirdiğimizde işler çok değişmektedir.

\(L = I.\omega\)

\(T = \frac{dL}{dt}\) Cismin bağlı olduğu koordinat sistemine göre atalet momenti sürekli değiştiği için türevin dışına çıkamaz.

\(T = I.\frac{d\omega}{dt} + \frac{d I(t)}{dt}.\omega\)

Sırayla \(\omega_x\) , \(\omega_y\) ve \(\omega_z\) eksenlerindeki döndürme sonucundaki Torkları elde edelim.

\(\omega_x\) yönünde döndürülmesi:

\(\omega = \begin{bmatrix} \omega_{x}\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\)

\(I(t) = R_x.I_0.R_x^T\)

\(T = I.\frac{d\omega}{dt} + \frac{d I(t)}{dt}.\omega\)

\(T = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} \alpha_{x}\\ \alpha_{y}\\ \alpha_{z} \end{bmatrix} + \omega_x ^ 2 \begin{bmatrix} 0\\ -I_{zx}\\ I_{yx} \end{bmatrix}\)

\(\omega_y\) yönünde döndürülmesi:

\(\omega = \begin{bmatrix} 0\\ \omega_{y}\\ 0 \end{bmatrix}\)

\(I(t) = R_y.I_0.R_y^T\)

\(T = I.\frac{d\omega}{dt} + \frac{d I(t)}{dt}.\omega\)

\(T = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} \alpha_{x}\\ \alpha_{y}\\ \alpha_{z} \end{bmatrix} + \omega_y ^ 2 \begin{bmatrix} I_{zy} \\ 0 \\ -I_{xy} \end{bmatrix}\)

\(\omega_z\) yönünde döndürülmesi:

\(\omega = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \omega_{z} \end{bmatrix}\)

\(I(t) = R_z.I_0.R_z^T\)

\(T = I.\frac{d\omega}{dt} + \frac{d I(t)}{dt}.\omega\)

\(T = \begin{bmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} \alpha_{x}\\ \alpha_{y}\\ \alpha_{z} \end{bmatrix} + \omega_z ^ 2 \begin{bmatrix} -I_{yz}\\ I_{xz}\\ 0 \end{bmatrix}\)

Kaynak:

  1. https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia
  2. https://www.iitg.ac.in/physics/fac/saurabh/ph101/Lecture14.pdf
  3. http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/notesd2.pdf
  4. https://www.tu-chemnitz.de/informatik/KI/edu/robotik/ws2017/Dyn.pdf

Previous PostNext Post